洛谷 P5304 题解

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P5304

题目大意:给定一张 $n$ 个点 $m$ 条边的有向图.

给定 $k$ 个特殊点,求它们两两之间最短路的最小值.

20pts 做法:

枚举每个特殊点,跑一遍 dijkstra 更新答案

时间复杂度 $O(km\log m)$

100pts 做法:

注意到我们并不关心具体是哪两个点使答案最优,因此可以建立超级源点 $S$ 和超级汇点 $T$ ,将 $k$ 个特殊点分为两组,分别连向 $S$ 和 $T$ .

如何分组才能使所有路径都被统计过一遍?

Trick:

按照二进制位分别分组,对于每一位,将这一位为 0 的分为一组,这一位为 1 的分为一组.

时间复杂度

O(m\log m \log n)

证明:

假设答案为 $u → v$ 的最短路,由于 $u ≠ v$ , 因此 $u$ , $v$ 二进制表示中至少有一位不同.


#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <queue>
#include <vector>

#define CLOSE ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr)

using namespace std;
using ll = long long;

const int N = 1e5 + 5;
int n, m, k;

struct Edge {
    int v;
    ll w;
};

vector<Edge> G[N];

void add(int u, int v, ll w) {
    G[u].push_back({v, w});
}

int c[N], x, y;
ll z;

struct dijnode {
    int u;
    ll d;
    bool operator<(const dijnode x) const { return x.d < d; }
};

ll dis[N];
int vis[N];

ll dijkstra(int s, int t) {
    memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
    memset(vis, 0, sizeof vis);
    priority_queue<dijnode> Q;
    dis[s] = 0;
    Q.push({s, 0});
    while (!Q.empty()) {
        auto [u, d] = Q.top();
        Q.pop();
        if (vis[u])
            continue;
        vis[u] = 1;
        for (auto [v, w] : G[u]) {
            if (dis[v] > dis[u] + w) {
                dis[v] = dis[u] + w;
                Q.push({v, dis[v]});
            }
        }
    }
    return dis[t];
}

int main() {
    CLOSE;
    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        cin >> n >> m >> k;
        for (int i = 0; i <= n + 1; i++)
            G[i].clear();
        for (int i = 1; i <= m; i++)
            cin >> x >> y >> z, add(x, y, z);
        for (int i = 1; i <= k; i++)
            cin >> c[i];
        ll ans = 1e16;
        for (int i = 0; (1 << i) <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= n + 2; j++) {
                while (!G[j].empty() && G[j].back().w == 0)
                    G[j].pop_back();
            }
            for (int j = 1; j <= k; j++)
                if (c[j] & (1 << i))
                    add(n + 2, c[j], 0);
                else
                    add(c[j], n + 1, 0);
            ans = min(ans, dijkstra(n + 2, n + 1));
        }
        for (int i = 0; (1 << i) <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= n + 2; j++) {
                while (!G[j].empty() && G[j].back().w == 0)
                    G[j].pop_back();
            }
            for (int j = 1; j <= k; j++)
                if (c[j] & (1 << i))
                    add(c[j], n + 2, 0);
                else
                    add(n + 1, c[j], 0);
            ans = min(ans, dijkstra(n + 1, n + 2));
        }
        cout << ans << '\n';
    }
    return 0;
}